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Ma se avesse avuto un Contender sarebbe diventato Einstein o... Bonezzi?
Mario Caponnetto

Mario Caponnetto

Il Contender e le leggi della Fisica

La fisica della vela applicata al Contender. Un testo di riferimento scritto da una delle menti (noncé contenderista) che hanno permesso a Oracle di vincere l'America's Cup

Cari amici e avversari contenderisti, il nostro Segretario mi ha gentilmente offerto uno spazio su questo bollettino per pubblicare un articolo riguardante la teoria della navigazione a vela. Sebbene normalmente non ami mischiare il lavoro (l’idrodinamica) con lo svago (il Contender) cercherò di indossare i panni del Piero Angela della situazione per provare a spiegare come e perché le nostre amate barchette stanno a galla e si muovono. Qualcuno potrà essere perplesso poiché in effetti non è necessario essere dei fisici per far correre una barca e vincere delle regate. Tutto quello che facciamo quando regatiamo è mettere in pratica gli insegnamenti ricevuti da altri o frutto di esperienze personali, e poco importa sapere qual è la ragione per cui facciamo questa o quella regolazione. In effetti anche se la bravura nel portare un’imbarcazione ed il successo nelle competizioni dipendono in gran parte dal talento personale (che non si apprende a scuola), ritengo che avere una solida e corretta base teorica possa aiutare a raggiungere risultati positivi con minore fatica e in minore tempo. In poche parole, se normalmente siamo costretti a fare un gran numero di esperimenti “casuali” prima di trovare l’esatta regolazione di una manovra conoscendo la relazione tra “causa” ed “effetto” probabilmente dovremo fare meno tentativi per ottenere il risultato migliore.

Per cominciare è meglio non addentrarsi in problemi specifici, anche se aventi utili risvolti pratici (tipo: qual è la posizione ottimale del grasso sulla vela) se prima non si hanno chiare in mente le regole fondamentali che governano il movimento della barca. Chi non le conosce e desidera colmare questa lacuna potrà trovare interessante l’articolo seguente.

L’equilibrio della barca

D’ora in avanti, salvo diversamente specificato cosidereremo che il nostro Contender navighi su un mare privo di onde e sospinto da un vento di intensità e direzione costanti. In queste condizioni non è necessario avere Andrea (leggi Bonezzi) al timone perché la barca si muova ad una velocità costante e su una rotta fissata; diremo che in questo caso la barca si muove di moto rettilineo uniforme. Questa affermazione ci riporta col pensiero ai banchi di scuola e ci ricorda le leggi fondamentali della fisica leggi di Newton: in particolare, se la nostra barca avanza con moto rettilineo uniforme la somma delle forze agenti su di essa è nulla. Questo non vuol dire che sul corpo non agiscono forze, bensì che se c’é una forza agente sul corpo, ce ne deve essere un altra uguale ed opposta che le fa equilibrio. Per intenderci, se una forza di intensità 10 Kg applicata alla barca agisce da poppa verso prua, deve esserci un’altra forza di 10 Kg che agisce da prua verso poppa perché la barca continui a muoversi ad una velocità fissata. Qualora questa seconda forza fosse di 9 o 11 kg ci sarebbe uno squilibrio di forze di + o – 1 kg che porterebbe la barca rispettivamente ad accelerare o decelerare verso una nuova velocità di equilibrio. Nella pratica velica esistono due tipi di forze agenti sulla barca (oltre naturalmente alla forza peso: le forze aerodinamiche che principalmente sono applicate alla vela, e quelle idrodinamiche o idrostatiche che si sviluppano sullo scafo e sulle appendici; analizzeremo in dettaglio queste forze successivamente. E’ bene ricordare che essendo tre le dimensioni dello spazio, l’equilibrio (o annullamento delle forze) deve essere verificato non solo in direzione longitudinale (rispetto alla barca), ma anche in direzione trasversale e verticale; auspicabile l’ultima verifica (quella verticale) pena l’affondamento dell’imbarcazione o il decollo verso la stratosfera

Vento Reale e Vento Apparente

A questo punto dovrei introdurre un grafico fondamentale per la comprensione dei concetti che dovrò successivamente presentare, ma per fare questo è necessario avere famigliarità con la nozione di “vettore”. I vettori ci permettono di rappresentare in forma grafica (con delle frecce) grandezze fisiche dotate di modulo, direzione e verso (come per esempio una velocità o una forza) e di fare operazioni di somma e sottrazione su di esse. Rappresentiamo vettorialmente una barca che avanza a 6 nodi di velocità con un vento reale di 12 nodi che forma un angolo di 45° rispetto alla prua. Innanzi tutto bisogna definire una scala per le velocità e per esempio decido che sul mio foglio di carta 1 nodo corrisponde ad 1 centimetro di lunghezza.

 

Fissata la direzione della barca rispetto al foglio, il vettore velocità della barca sarà una freccia lunga 6 cm (modulo), giacente lungo l’asse della barca (direzione) e con la punta diretta da poppa a prua (verso). Il punto di applicazione di questo vettore, cioè la posizione della coda della freccia, é indifferente, ma ci conviene fissarlo in corrispondenza del piede d’albero che d’ora in avanti chiameremo origine (O). A questo vettore diamo il nome Vb e diciamo che a causa della sola velocità della barca il timoniere sente un vento pari a -Vb che rappresentiamo come un vettore identico a Vb (stessa lunghezza e stessa direzione) ma di verso opposto, cioè con la punta rivolta verso poppa. Rappresentiamo inoltre la velocità del vento reale (Vtw) come una freccia lunga 12 cm giacente su una retta ruotata di 45° (Btw) rispetto alla prua della barca e con la punta nell’origine O. Il vento apparente (Vaw), cioè il vento relativo alla barca, è pari alla somma vettoriale di Vtw e -Vb, cioè del vento reale meno la velocità della barca. Per trovare il vettore somma di altri due bisogna far coincidere la coda di uno con la punta dell’altro; il vettore avente coda e punta negli estremi liberi è il vettore somma dei due. Così il vettore Vaw rappresentato in figura ha la coda coincidente con quella di Vtw e la punta di -Vb. Avendo a disposizione un righello e un goniometro possiamo misurare che l’intensità del vento apparente è l6.8 nodi e il suo angolo rispetto all’asse della barca (Baw) è 30°.

Forze aerodinamiche

La vela sviluppa delle forze aerodinamiche in relazione alla forma propria ed al vento apparente che riceve e che abbiamo appena misurato. Rappresentiamo vettorialmente queste forze e diciamo che una forza di 10 Kg corrisponde nel nostro disegno ad un vettore lungo 1 cm (non c’è nessuna relazione tra scale delle velocità e delle forze) e prescindiamo inoltre dal punto di applicazione di queste forze.

La pressione dell’aria sulla vela produrrà una forza perpendicolare alla direzione del vento apparente che chiameremo “portanza aerodinamica” (La) e una forza parallela detta “resistenza aerodinamica” (Da). Il modulo di entrambe le forze varia linearmente con la superficie velica (As) e con la densità dell’aria (rho) e cresce col quadrato della velocità del vento apparente. Lasciando perdere la densità dell’aria, su cui abbiamo scarsa possibilità di intervento, questo vuoI dire che se raddoppiamo la superficie velica, la portanza e la resistenza aerodinamica raddoppiano, mentre quadruplicano se raddoppia la velocità del vento apparente. In termini matematici possiamo scrivere che:

La = 0,5*rho*As*Vaw Da = 0,5*rho*As*Vaw

I coefficienti CI e Cd, detti rispettivamente coefficienti di portanza e di resistenza, dipendono da una serie di fattori tra i quali ricordiamo i più importanti. CI cresce aumentando l’angolo tra vento apparente e boma (angolo di attacco) aumentando la concavità della vela (grasso) e riducendo la svergolatura della balumina. Ogni vela però, a seconda della concavità, ha un valore massimo dell’angolo di attacco oltre il quale CI non può salire (CI max) poiché oltre si verifica il fenomeno dello stallo. Tanto per dare dei valori indicativi: una vela molto grassa può avere CI max – 1.6/1.8 mentre una vela molto magra non supera CI max – 0.6/0.8. Vele esasperate dotate di flap e slot come le “ali” dei catamarani di classe C possono raggiungere CI max = 2.4

Cd è in realtà la somma di due termini Cdo e Cdi (cioè Cd = Cdo + Cdi). Cdo cresce con l’angolo di attacco, con la concavità della vela e dipende inoltre dalla forma e dalle dimensioni dell’albero di bolina (Cdo può andare da 0.01 per un classe C a 0.3 per una vela molto grassa sostenuta da un albero a sezione cilindrica mentre in poppa si possono raggiungere valori intorno a 1.2). Cdi aumenta invece col quadrato di CI e linearmente col rapporto tra superficie velica e lunghezza della ralinga. Esiste inoltre una svergolatura della balumina per cui Cdi è minimo a parità di tutto il resto; aprendo o chiudendo la vela rispetto a questo valore ottimo Cdi aumenta. Il valore ottimo della svergolatura è quello per cui si verifica che la variazione della portanza sulla randa andando dal boma alla tavoletta (di cui il già citato La è solo il valore complessivo) ha andamento ellittico.

Ipotizzando dei dati tipici per un Contender possiamo calcolare che nel caso rappresentato in figura La e Da valgono rispettivamente 47.2 e 9.9 Kg. Partendo dalla punta di Vaw disegnamo il vettore La lungo 4.72 cm con direzione perpendicolare a Vaw e dalla punta di La il vettore Da lungo 0.99 cm e parallelo a Vaw. La somma di questi due vettori è il vettore equivalente Fa; se poi vediamo le cose dal punto di vista della barca e non del vento possiamo scomporre Fa in altri due vettori detti T (spinta) e H (forza laterale), il primo parallelo all’asse della barca e il secondo perpendicolare ad essa. E’ bene puntualizzare che non c’è nessuna differenza nel considerare la barca soggetta alla coppia di forze La e Da, oppure all’unica forza Fa o ancora alla coppia formata da T ed H. Il risultato è sempre lo stesso vettore complessivo Fa, avente intensità pari a 48.2 Kg. Però utilizzando T e H vediamo che in definitiva di tutta la forza Fa sviluppata dalla vela solo una parte (T= 1 5 Kg) é la forza utile per la propulsione della barca, poiché rivolta in direzione poppa/prua, mentre una parte sostanziosa (H=47.2 Kg) tende a spingere la barca di lato.

Forze idrodinamiche

Per quanto detto in precedenza se il Contender rappresentato in figura naviga effettivamente alla velocità costante di 6 nodi e se la vela sviluppa (nel piano orizzontale) la forza Fa che abbiamo calcolato, allora da qualche parte della barca deve essere applicata una forza uguale e opposta a Fa. Poiché abbiamo esaurito le forze aerodinamiche e poiché la forza peso non ha componenti sul piano orizzontale, restano le forze idrodinamiche a opporsi ad Fa. Chiamiamo la forza idrodinamica, complessivamente applicata alla carena e alle appendici, Fi e la rappresentiamo come un vettore avente la stessa lunghezza e direzione dì Fa ma verso opposto. Come avevamo fatto per Fa, consideriamo Fi pari alla somma di due vettori equivalenti: uno parallelo Di e uno perpendicolare Ii all’asse della barca che chiamiamo rispettivamente “resistenza” e “portanza idrodinamica”. Notiamo che Di é uguale e opposto al vettore T mentre Li è uguale e opposto ad H.

Li è la forza che contrasta la spinta laterale H sviluppata dalla vela ed è generata in parte dalla deriva e in parte dal timone. Esiste una ripartizione percentuale ottima tra portanza prodotta dalla deriva e dal timone che rende minima una componente della resistenza all’avanzamento che analizzeremo in seguito. Se consideriamo che tutta la portanza venga prodotta dalla deriva possiamo dire che la portanza è linearmente proporzionale alla densità dell’acqua, alla superficie laterale della deriva e varia col quadrato della velocità della barca (Vb). Inoltre varia linearmente con l’angolo di scarroccio (che per semplicità non avevamo ancora considerato) ed è nulla quando l’angolo di scarroccio è nuIlo. In generale l’angolo di scarroccio che la barca deve raggiungere per generare la portanza necessaria all’equilibrio laterale della barca varia dai 3 ai 6 gradi. Nel nostro caso si può calcolare che l’angolo di scarroccio deve essere pari a 3.9.

La forza opposta al movimento in avanti della barca (Di), anche detta resistenza al moto, è la somma di diverse componenti. Le tre più importanti sono la resistenza viscosa (Rv), la resistenza d’onda (Rw) e la resistenza indotta (Ri), cioè Di = Rv + Rw – Ri.

Rv è la resistenza viscosa e nasce principalmente dall’attrito tra l’acqua e la carena o le appendici di carena. Il suo valore cresce linearmente con l’area della superficie bagnata e col quadrato della velocità della barca. E’ inoltre proporzionale ad un coefficiente di resistenza che dipende principalmente dal tipo di flusso che si instaura sulla superficie della carena: se il flusso è “laminare” il coefficiente di resistenza é più basso che con flusso “turbolento”. Per quanto riguarda lo scafo l’unica maniera per cercare di ottenere flusso laminare è con una carena perfettamente liscia e priva di ondulazioni. Si può invece ottenere flusso laminare sulla deriva e sul timone con un’opportuna scelta della forma dei profili. E’ bene anticipare che profili particolarmente studiati per avere flusso laminare in condizioni sfavorevoli (per esempio con vento forte) possono rivelarsi disastrosi in altre con bonaccia), mentre esistono profili con prestazioni medie su un vasto campo di utilizzo.

Nel caso pratico della figura si può calcolare che Rv = 7.5 Kg

L a resistenza d’onda (Rw) nasce dalla cessione di energia dalla barca al mare sotto forma di un treno d’onde; queste nascono principalmente dalla prua e dalla poppa dell’imbarcazione per effetto di un disturbo di pressione generato dalla carena. Non è facile calcolare la resistenza d’onda a tavolino, anche avendo a disposizione dei supercomputer, per cui spesso si ricorre alla sua misura sperimentale utilizzando la vasca navale. Possiamo dire che in generale la resistenza d’onda aumenta all’aumentare del dislocamento dell’imbarcazione mentre diminuisce all’aumentare della lunghezza al galleggiamento. Diminuisce inoltre riducendo la larghezza al galleggiamento ed è molto sensibile alla disposizione longitudinale dei volumi. Alle basse velocità Rw è minore se si hanno le estremità relativamente vuote ed il baricentro leggermente più a prua della metà lunghezza al galleggiamento; aumentando la velocità della barca la resistenza d’onda minima si ottiene riempiendo progressivamente le estremità e spostando il baricentro verso poppa. Data una certa carena, Rw cresce in generale come la quarta o sesta potenza della velocità della barca. In pratica questo vuol dire che a velocità basse la resistenza d’onda è una frazione trascurabile della resistenza viscosa, mentre alle alte velocità è la componente dominante della resistenza al moto. Superata una certa velocità una barca sufficientemente leggera, per effetto della elevata pressione dinamica sul fondo, tende a sollevarsi dall’acqua entrando in planata. Il volume immerso e la superficie bagnata diminuiscono riducendo così sia la resistenza d’onda che la resistenza viscosa. In queste condizioni è favorevole ridurre la lunghezza al galleggiamento; sono inoltre avvantaggiate barche con elevata larghezza al galleggiamento, fondo piatto e spigoli sul ginocchio in grado di staccare l’acqua dallo scafo prima che questa scorra (inutilmente) sul fianco.

Avendo a disposizione il piano di costruzione del Contender è possibile prevedere con una buona approssimazione che la resistenza d’onda a 6 nodi sarà Rw = 6.4 Kg.

Per resistenza indotta (Ri) si intende la forza che si oppone al moto della barca ed è conseguenza della generazione della portanza (Li). In altre parole la portanza Li che si oppone alla forza laterale H prodotta dalle vele non si ottiene gratis, ma pagando con la resistenza indotta. Se consideriamo che solo la deriva partecipi allo sviluppo della portanza la resistenza indotta risulta essere direttamente proporzionale al quadrato della portanza ed inversamente proporzionale sia al quadrato dell’immersione della deriva sia al quadrato della velocità della barca. In altre parole, la resistenza indotta quadruplica se raddoppia la portanza, mentre si riduce a un quarto se raddoppia l’immersione della deriva o se raddoppia la velocità della barca. In misura minore dipende anche dalla forma in pianta della deriva (trapezoidale, ellittica…).

Abbiamo già detto che considerando anche la presenza del timone esiste una ripartizione ottimale della portanza tra deriva e timone che rende minima la resistenza indotta complessiva. Se l’immersione del timone e della deriva fossero uguali dovrebbero essere caricati ciascuno col 50% della portanza totale, riducendo l’immersione del timone rispetto alla deriva la percentuale dì portanza che il timone deve sviluppare per ottenere il minimo di resistenza indotta si riduce bruscamente. Su una barca come il Contender dove la deriva è molto più immersa del timone quest’ultimo deve essere lasciato decisamente scarico (barca poco orziera). Inoltre se un timone corto viene caricato anche poco oltre il valore ottimale, la resistenza indotta sale bruscamente, cosa che avviene in misura meno sensibile con un timone più lungo.

Nel caso in figura la resistenza indotta calcolata è Ri = 1. 1 Kg.

E’ interessante notare che, come previsto, dalla somma delle tre resistenze parziali si ottiene un valore della resistenza totale pari a Di = 7.5 + 6.4 + 1.1 = Kg, valore identico a quello della spinta propulsiva della vela (T= 15 Kg).

Mario Caponnetto

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